top of page

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos específicos en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan las letras mayúsculas.

Si un elemento (x1) pertenece a un conjunto (A) se expresa de forma simbólica como x1 >A. En caso de que un elemento (y1) no pertenezca a ese mismo conjunto se expresa x1<A.

 

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

 

 

Por extensión  o enumeración: Los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

Por comprensión: Los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa "tal que". En forma simólica es A={x|P(x)}={x1,x2,x3,...,xn}

 

Diagrama de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relacions entre conjuntos.

 

Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

Por ejemplo, si decimos que "el conjunto de las letras vocales"  lo expresemos por extensión, comprensión y diagrama de Venn. Tendríamos que:

Por extensión: V={a,e,i,o,u}

Por extensión:V={x| x es una vocal}

Por diagrama de Venn:

 

CONJUNTO CON NOMBRES ESPECÍFICOS

VACIO O NULO:Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por:{ }.El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es un subconjunto de cualquier conjunto.

UNIVERSAL: Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por U. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

FINITO: Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

INFINITO: Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida.

IGUALES: Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo=.

DESIGUALES: Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo /(=).

EQUIVALENTES: Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos , es decir, si poseen lamisma cardinalidad. Se denota por el símbolo ~~.

 

Ejemplo de Conjunto Vacío.   

 p={x|x son los dinosaurios que viven en la actualidad}

{ }={x|x son los hombres mayores de 300 años}

p={x|x son números positivos menores que cero}

 

Ejemplo de Conjunto Universal.

U={x|x son los días de la semana}={lunes,martes,miércoles,jueves,viernes,sábado,domingo}

A={x|x sonlos días de la semana inglesa}={lunes,martes,miércoles,jueves,viernes}

B={x|x son los días de fin de semana}={sábado,domingo}

C={x|x son los días de la semana con menos de siete letras}={lunes,martes,jueves,sábado}

Nótese cómo: AcU  BcU  CcU

 

Ejemplo de Conjunto Finito.

J={x|x es el número de un día del mes de junio}

K={x|x^2=4 }

L={x|x es la cantidad de autos en la ciudad de México}

 

Ejemplo de Conjunto Infinito.

N={1,3,5,7,9,11,...}

M={2,4,6,8,10,12,...}

Q={x|x es la cantidad de puntos en una línea}

 

Ejemplo de Conjuntos Iguales.

R={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

S={x|x es un dígito}

R=S

 

Ejemplo de Conjuntos Desiguales.

 

D={x|x^2 =9 }

E={-2,2}

D/=E

 

Ejemplo de Conjuntos Equivalentes.

W={x|x son las estaciones del año}

Z={x|x es un punto cardinal}

n(W)=4

n(Z)=4

W=Z

 

 

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION DE LOS CONJUNTOS: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elmentos de B sin repetir ninguno y se denota como AUB. Esto es:

                                                                 AUB={x| x>A o x>B}

 

 

Ejemplo.

A={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandia}

B={durazno,melón,uva,naranja,sandía,plátano}

AUB={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía,durazno,melón,plátano}

INTERSECCIÓN DE LOS CONJUNTOS: La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como AnB. Esto es:

                                                                    AnB={x|   x>A   y   x>B}

 

Ejemplo.

A={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandia}

B={durazno,melón,uva,naranja,sandía,plátano}

AnB={uva,naranja,sandía}

AJENOS/DISJUNTOS: Dos conjutnos son ajenos o disyuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común.

Por ejemplo:

A={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía}

E={limón,fresa,pera,mandarina,cereza}

AnE=y

 

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: El complemento del cnjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A´. Esto es:

                                                                  A´={ x>U   x<A }

 

                                                          

 

 

 

U={mango,kiwi,ciruela,uva,pera,naranja,cereza,manzana,sandía,durazno,limón,melón,plátano}

A={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía}

A´={kiwi,pera,cereza,durazno,limón,melón,plátano}

 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS: La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A-B. Esto es:

                                                                        A-B={ x|  x>A  y  x<B }

 

 

 

 

Ejemplo.

A={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía}

B={durazno,melón,uva,naranja,sandía,plátano}

A-B={mango,ciruela,manzana}

B-A={durazno,melón,plátano}

 

bottom of page